Die Tücken der Prozentrechnung und Rendite

*Letzte Aktualisierung 21.03.2021*

Vielleicht werden Sie sich nicht so gerne an den Mathematikunterricht in der Schulzeit zurück erinnern (wollen). Aber den Dreisatz kennen Sie bestimmt noch. An der Börse wird die erwirtschaftete Rendite in Prozent ausgedrückt und dient dazu ihre Investments zu bewerten. Das können Sie natürlich auch mit absoluten Zahlen tun: „Mit der Adidas-Aktie habe ich 2000 € verdient.“ Aber um verschiedene Investments vergleichen zu können, müssen Sie den Gewinn in das Verhältnis des Startkapitals setzen und dabei kommen Sie um die Prozentrechnung nicht herum. Anfangs zeigen wir einige Denkfehler auf und wenden dies dann auf einen sogenannten short ETF auf den DAX an.

Viele Menschen machen Fehler, wenn es um Prozentrechnung geht. Wahrscheinlich liegt es daran, dass die Prozentrechnung (sowie die Wahrscheinlichkeitsrechnung in der Mathematik) nicht intuitiv ist. Sie wird schlicht als unlogisch empfunden. Ein kleines Beispiel vorweg: Sie legen 100 € in Aktien an. Am folgenden Tag steigt der Kurs um 10 %, allerdings sinkt er einen Tag später auch schon wieder um 10 %. Wie viel Geld haben Sie jetzt? Viele denken spontan, dass es wieder 100 € sind, aber das stimmt nicht: Am ersten Tag steigt der Kurs auf 110 € (100*1,1). Jetzt fällt er um 10 % von den 110 €, was ja 11 € sind, sodass am Ende 110-11= 99 € übrig bleiben. Im Endeffekt hat man also einen Euro verloren.

[Exkurs Wahrscheinlichkeitsrechnung: Da ich in meinem früheren Leben Mathematik studiert habe, möchte ich an einem berühmten Beispiel auch noch einmal demonstrieren, dass auch die Wahrscheinlichkeitsrechnung gegen die menschliche Intuition läuft. Und Sie dürfen sogar mitspielen beim sogenannten Ziegenproblem: Stellen Sie sich vor, dass Sie an einer Spielshow teilnehmen. Vor Ihnen sind 3 verschlossene Türen. Der Moderator verrät Ihnen, dass hinter einer Tür der Hauptgewinn von einer Million € liegt, während hinter den anderen zwei Türen jeweils eine Ziege steht. Sie dürfen jetzt eine Tür wählen (1,2 oder 3). Nachdem sie sich für eine Tür entschieden haben, nennt Ihnen der Moderator eine Tür hinter der eine Ziege steht und frägt Sie ob sie nun Ihre Tür wechseln wollen! Beispiel: Sie wählen Tür 1. Der Moderator öffnet nun Tür 3 (hinter der eine Ziege steht) und fragt Sie jetzt, ob Sie statt Tür 1, nicht lieber zu Tür 2 wechseln wollen.
Jetzt kommt die entscheidende Frage: Wollen Sie die Türe wechseln? und erst weiter lesen, wenn Sie sich Gedanken gemacht haben!
Die Lösung kommt ganz unten am Ende des Beitrages]

In diesem Falle hätten Sie nicht gewonnen
Quelle: Free licence

Nun aber genug von Ziegen gesprochen und zurück zum Ursprungsthema.
Im Folgenden wollen wir ein paar dieser Fallstricke kurz erläutern:

Fehler Nr. 1) 
Hier handelt es sich noch einmal um eine Verdeutlichung des oben genannten Beispiels in extremerer Form. Sie legen wieder 100 € an. Der Kurs fällt auf 10 €, also um 90 %. Wie viel Rendite müssten Sie jetzt erwirtschaften, um wieder auf den Ausgangswert zu kommen? 90 % Rendite? In Wirklichkeit ist es eine unglaubliche Rendite von 900 %. Schauen Sie einmal nach, welche Fonds eine solche Rendite erwirtschaften (Es sind nicht viele). Daher kommt auch die Börsenregel: Machen Sie nie Verluste!
Hinweis: Prozentangaben können beliebig hoch ausfallen: Die Aktie ist um 150.000% gestiegen, könnte eine legitime Aussage sein, aber sie können im Prinzip nie negativ sein. Das macht keinen Sinn.

Fehler Nr. 2)
Diesmal läuft es besser bei Ihrem Investment: Aus 100 € haben Sie innerhalb von 5 Jahren 200 € gemacht, also eine Rendite von 100 % erwirtschaftet. Wie viel Rendite haben Sie jetzt pro Jahr erwirtschaftet? Ein kleiner Tipp: Es sind nicht 20 %. Sie müssen nämlich die Rendite so berechnen, als ob Sie das Geld auf dem Sparbuch anlegen und den Zinseszins miteinbeziehen. Die Antwort lautet: Ihr jährliche Rendite betrug knapp 15 %, weil 100*1,15^5=201 €. Bei 20 % Rendite läge Ihr Endbetrag bei fast 250 €! (100*1,2^5=249€).

Fehler Nr. 3)
Sie machen aus 100 € diesmal 300 €. Wie viel Rendite haben Sie erwirtschaftet? Viele meinen, dass eine Verdreifachung einer Rendite von 300 % entspricht, aber es sind „nur“ 200 % Rendite. 100 % Rendite entspricht ja 200 €.

Fehler Nr. 4)
Hier geht es um die Veränderung von Prozentangaben: Wenn die Mehrwertsteuer von 16% auf 19% erhöht wird, dann ändert sich diese zwar um 3 Prozentpunkte aber der eigentliche Preis eine Gutes wird um 2,6% (1,19/1,16=1,0258) teurer.
Wenn Sie einen Fernseher im Laden kaufen wollen und bekommen statt den versprochenen 40% Rabatt, nur 20% Rabatt, dann verteuert sich ihr Produkt um ca. 33%!
„Beweis“: Angenommen der Fernseher kostet ursprünglich 100€, dann wären es mit 40% Rabatt 60€. Bei nur 20% Rabatt kostet das Ding 80€. Das Gerät wird also um 33% teurer (80/60=1,33).

Fehler Nr. 5)
Das ist eher ein vorbereitendes Anschauungsbeispiel für den unten genannten short DAX und ist mir wirklich selbst einmal passiert: Als Jugendlicher hatte ich ein Musikstück mit der Bassgitarre eingespielt (Geschwindigkeit = 100) und es dann am PC auf 80 gedrosselt. Also um 20% verlangsamt. Danach habe ich es abgespeichert und wollte es am nächsten Tag wieder bei Originalgeschwindigkeit abspielen und habe es wieder um 20% erhöht und mich gewundert, weshalb es nicht mehr zu den anderen Instrumenten passt. Was war passiert? Beim Speichern wurde die aktuelle (gedrosselte) Geschwindigkeit auf 100% gesetzt und um es wieder um 20% zu erhöhen musste ich die aktuelle Geschwindigkeit auf 125% stellen, da 20 von 80 = 25% sind.

Die oben genannten Denkfehler wollen wir jetzt praktisch anwenden: Angenommen Sie sind pessimistisch, was die Marktlage angeht und wollen auf einen fallenden DAX setzen. Das geht zum Beispiel mit einem ETF. Dazu haben wir uns folgenden ausgesucht, aus dem Hause der Deutschen Bank: DB X-Trackers shortdax daily ETF 1c:

Der prozentuale Verlauf von DAX (blau) und short ETF (gelb).
Quelle: comdirect.de

Was fällt auf? Beide starten natürlich bei 100 %. Anfang 2009 stimmt das Verhältnis noch: Der DAX halbiert sich, während der ETF sich verdoppelt. Mit den Jahren driften die zwei Kurse allerdings unverhältnismäßig auseinander: Im Juni 2015 liegt der DAX bei einer Gesamtrendite von ca. 40 % während der ETF bei unter 50 % notiert.
Schuld daran ist, dass der ETF täglich die prozentuale Veränderung des DAX entgegengesetzt darstellt. Mit den oben genannten Besonderheiten ergibt sich dieser Verlauf.
Denken Sie also daran, wenn Sie –  wie in diesem Falle – auf den fallenden DAX spekulieren, dass der Kursverlauf nicht 1:1 wiedergegeben wird, sondern erheblich variieren kann und zwar je länger Sie investieren desto mehr. Experten sagen deshalb, dass ein short ETF immer nur für kurzfristige Spekulationen benutzt werden sollte.

Noch etwas fällt mir dazu ein: Ein Kommilitone meinte damals zu mir, dass es ja ziemlich „unlogisch“ sei (er hatte nicht unlogisch gesagt, aber ich bemühe mich ja immer um eine gewaltfreie Kommunikation) den DAX zu shorten, weil der Gewinn nach oben ja auf 100% begrenzt sei, also wenn der DAX komplett wertlos werden würden, dann hätte man ja 100% Gewinn gemacht durch die negative Korrelation. Auch wenn es im ersten Moment vielleicht logisch erklingt, ist es eigentlich Unsinn. Wieder liegt es daran, dass der short DAX täglich neu berechnet wird: Falls er – rein hypothetisch – von 14.000 Punkten auf 7000 Punkte an einem Tag fällt, hätte man also 50% Gewinn gemacht. Am nächsten Tag wird aber wieder alles auf 0 gesetzt und wenn der DAX dann weiter auf 3500 Punkte fallen würde, dann hätte man wieder 50% Gewinn gemacht und so weiter. Theoretisch bis er bei einem Punkt angelangt wäre.

Wenn dir der Begriff „ETF“ noch nichts sagt, dann empfehle ich dir die Börsenanleitung durchzulesen. Hier zeige ich dir, wie du ohne viel Fachwissen an der Börse durchstarten kannst. Es lohnt sich!

So, zu guter Letzt noch die versprochene Lösung vom obigen Ziegenrätsel mit (hoffentlich) Überraschungseffekt:

Lösung Ziegenproblem von oben: Sie sollten auf jeden Fall die Türe wechseln, weil Sie ihre Gewinnwahrscheinlichkeit deutlich erhöhen. Die meisten empfinden dies als unlogisch, weil man ja jetzt anscheinend eine 50:50 Chance hat (2 verschlossene Türe und eine geöffnete mit Ziege), aber das wäre zu einfach gedacht. Es gibt viele verschiedene Erklärungsansätze. Ich finde folgenden am Einleuchtesten: Stellen Sie sich vor, Sie würden das Spiel 1000 mal hintereinander spielen. Wenn Sie nun immer Türe 1 wählen, dann würden Sie ca. 333 Mal gewinnen (eine Türe von drei macht eine Wahrscheinlichkeit von 1/3). Die anderen 666 Gewinne erzielen Sie, wenn Sie also immer schön wechseln. Vielleicht noch einmal anders ausgedrückt: Bei Wahl von Tür 1, vereinen Türe 2 und Türe 3 die Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 auf sich. Wenn ich nun eine dieser Türen öffne mit Niete (also Ziege), dann bleibt die Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 bestehen, aber wandert auf die nicht geöffnete der zwei Türen über.